Corrente de deslocamento no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

No eletromagnetismo, a corrente de deslocamento é taxa de variação do fluxo do vetor deslocamento elétrico.^[1]^[2] Tem dimensão de corrente elétrica e, portanto, é expressa em amperes no Sistema Internacional de Unidades.

Histórico[editar | editar código-fonte]

A ideia foi concebida por Maxwell em seu artigo Acerca das Linhas Físicas de Força, de 1861, em conexão com o deslocamento de partículas elétricas num meio dielétrico. Maxwell acrescentou a corrente de deslocamento ao termo da corrente elétrica na Lei de Ampère. Em seu artigo Teoria Dinâmica do Campo Eletromagnético, de 1861, Maxwell usa esta versão modificada da Lei de Ampère para deduzir a equação da onda eletromagnética. Esta dedução é aceita atualmente como um marco histórico da física, em virtude da unificação da eletricidade, magnetismo e ótica numa só teoria. Atualmente, o termo corrente de deslocamento é visto como um complemento crucial que completa as equações de Maxwell, e é necessário para explicar muitos fenômenos, principalmente a existência das ondas eletromagnéticas.

Explicação[editar | editar código-fonte]

O campo deslocamento elétrico é definido como:

{\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde:

ε₀ é a permissividade do espaço livre

E é a intensidade do campo elétrico

P é a polarização do meio

Diferenciando esta equação em relação ao tempo, define-se a densidade de corrente de deslocamento que, portanto, se compõe de dois termos em um dielétrico:^[3]

{\boldsymbol {J}}_{\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}\ .

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

O primeiro termo do 2º membro está presente nos meios materiais e no espaço livre. Ele não implica necessariamente em qualquer movimento real das cargas, mas possui um campo magnético associado, tal como uma corrente devido a cargas em movimento. Alguns autores aplicam o termo corrente de deslocamento somente para essa contribuição.^[4]

O segundo termo do 2º membro está associado com a polarização das moléculas individuais do material dielétrico. A polarização ocorre quando as cargas das moléculas se movem um pouco sob a influência de um campo elétrico aplicado. As cargas positivas e negativas das moléculas se separam, causando um aumento do estado de polarização P. Um estado de polarização variável corresponde a um movimento de cargas e por isso é equivalente a uma corrente.

Esta polarização é a corrente de deslocamento, tal como foi originalmente definida por Maxwell. Maxwell não fez nenhum tratamento especial para o vácuo, tratando-o como um meio material. Para Maxwell, o efeito de P era simplesmente variar a permissividade relativa ε_r na relação D = ε_rε₀ E.

A justificativa atual para a corrente de deslocamento é explicada abaixo.

Dielétricos isotrópicos[editar | editar código-fonte]

No caso de um material dielétrico muito simples, a relação constitutiva é:

{\boldsymbol {D}}=\varepsilon {\boldsymbol {E}}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde na permissividade ε = ε₀ ε_r,

ε_r é a permissividade relativa do dielétrico, e
ε₀ é a constante dielétrica.

Nesta equação, o uso de ε explica a polarização do dielétrico.

O valor escalar da corrente de deslocamento também pode ser expresso em termos do fluxo elétrico:

I_{\mathrm {D} }=\varepsilon {\frac {\partial \Phi _{E}}{\partial t}}.

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

As formas em termos de ε estão corretas apenas para materiais isotrópicos lineares. Mais geralmente, ε pode ser substituído por um tensor e pode depender do campo elétrico em si, e pode apresentar dependência temporal (dispersão).

Para um dielétrico isotrópico linear, a polarização P é dada por:

{\boldsymbol {P}}=\varepsilon _{0}\chi _{e}{\boldsymbol {E}}=\varepsilon _{0}(\varepsilon _{r}-1){\boldsymbol {E}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde χ_e é conhecido como a susceptibilidade elétrica do dielétrico. Note que:

\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}=(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}.

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Necessidade da corrente de deslocamento[editar | editar código-fonte]

Seguem da corrente de deslocamento algumas implicações que concordam com a observação experimental e o requerimento da consistência lógica para a teoria do eletromagnetismo.

Generalizando a lei circuital de Ampère[editar | editar código-fonte]

Corrente em capacitores[editar | editar código-fonte]

Capacitor sendo carregado e uma superfície cilíndrica imaginária ao redor da placa esquerda. A superfície da direita R encontra-se no espaço entre as placas, e a superfície da esquerda L está à esquerda da placa esquerda. Nenhuma corrente de condução entra na superfície cilíndrica R, enquanto que uma corrente I sai da superfície L. A consistência da lei de Ampère exige que uma corrente de deslocamento I_D = I flua através da superfície R.

Um exemplo que ilustra a necessidade da corrente de deslocamento surge em capacitores com nenhum meio entre as placas (espaço livre). Considere o capacitor da figura. O capacitor pertence a um circuito que transfere carga (por meio de um fio externo para o capacitor) da placa da esquerda para a placa da direita, carregando o capacitor e aumentando o campo elétrico entre suas placas. A mesma corrente que entra na placa da direita (digamos I) sai da placa da esquerda. Embora a corrente esteja fluindo através do capacitor, nenhuma carga real é transportada no vácuo entre suas placas. No entanto, existe um campo magnético entre as placas, como se uma corrente estivesse presente. A explicação é que uma corrente de deslocamento I_D flui no vácuo, e esta corrente produz o campo magnético na região entre as placas, de acordo com a lei de Ampère:^[5]^[6]

\oint _{C}\mathbf {B} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{D}\

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

$\oint _{C}$ é a integral de linha em torno de uma curva fechada C qualquer.
$\mathbf {B}$ é o campo magnético em tesla.
${\boldsymbol {\cdot }}\$ é o produto interno.
$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ é um elemento infinitesimal (diferencial) da curva C (isto é, um vetor com intensidade igual ao comprimento do elemento de linha infinitesimal e direção dada pela tangente à curva C).
$\mu _{0}\!\$ é a constante magnética, também chamada de permeabilidade do espaço livre.
$I_{D}\!\$ é a corrente de deslocamento líquida que liga a curva C.

O campo magnético entre as placas é o mesmo que fora das placas, assim a corrente de deslocamento deve ser a mesma que a corrente de condução nos fios. Ou seja,

I_{D}=I\ ,

o que amplia a noção de corrente além de um mero transporte de cargas.

Mais ainda, essa corrente de deslocamento está relacionada ao carregamento do capacitor. Considere a corrente na superfície cilíndrica imaginária mostrada em torno da placa esquerda. Uma corrente, digamos I, sai pela superfície esquerda L do cilindro, mas nenhuma corrente de condução (nenhum transporte real de cargas) entra na superfície da direita R. Perceba que o campo elétrico E entre as placas aumenta à medida que o capacitor carrega. Isto é, da maneira descrita pela lei de Gauss, assumindo que não há dielétricos entre as placas:

Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\boldsymbol {E}}(t)\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde S refere-se à superfície cilíndrica imaginária. Supondo um capacitor de placas paralelas com campo elétrico uniforme, e desprezando os efeitos de franjas nas bordas das placas, a diferenciação fornece:^[5]

{\frac {dQ}{dt}}={\mathit {I}}=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\approx -{S}\ \varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde o sinal é negativo porque a carga sai dessa placa (a taxa é decrescente), e S é a área da face R. O campo elétrico na face L é nulo porque o campo devido à carga sobre a placa da direita é compensado pela carga igual e oposta sobre a placa da esquerda. Com a hipótese de um campo elétrico distribuído uniformemente dentro do capacitor, a densidade de corrente de deslocamento J_D é determinada dividindo-se

I_{D}

pela área da superfície:

J_{D}={\frac {I_{D}}{S}}=-{\frac {I}{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}={\frac {\partial D}{\partial t}}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde I é a corrente que sai da superfície cilíndrica (que deve ser igual a -I_D, já que a soma das duas correntes é nula) e J_D é o fluxo de carga por unidade de área na superfície cilíndrica através da face R .

Combinando esses resultados, o campo magnético é encontrado usando a forma integral da lei de Ampère com uma escolha arbitrária do contorno, desde que o termo densidade de corrente de deslocamento seja acrescentado à densidade de corrente de condução (a equação de Ampère-Maxwell):^[7]

\oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}})\cdot d{\boldsymbol {S}}\,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Esta equação diz que a integral do campo magnético B em torno de um contorno ∂S é igual à integral da corrente J através de qualquer superfície que se apóia no contorno mais o termo corrente de deslocamento ε₀∂E / ∂t através da superfície.^[8] Aplicando a equação de Ampère-Maxwell para a superfície S₁, encontramos:

B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

No entanto, a aplicação desta lei para a superfície S₂, que é delimitada exatamente pela mesma curva

\partial S

, mas entre as placas, fornece:

B={\frac {\mu _{0}I_{D}}{2\pi r}}\,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Qualquer superfície que atravessa o fio tem uma corrente I o atravessando, assim a lei de Ampère fornece o campo magnético correto. Além disso, qualquer superfície limitada pelo mesmo contorno, mas que passa entre as placas do capacitor, não tem nenhuma carga fluindo através dela, mas o termo ε₀∂E / ∂t fornece uma segunda fonte para o campo magnético além da corrente de condução. Por causa da corrente estar aumentando a carga sobre as placas do capacitor, o campo elétrico entre as placas está aumentando e a taxa de variação do campo elétrico fornece o valor correto para o campo B encontrado acima.

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

Sob uma perspectiva mais matemática, os mesmos resultados podem ser obtidos a partir das equações diferenciais subjacentes. Considere, por simplicidade, um meio não-magnético onde a permeabilidade magnética relativa é 1, e as complicações da corrente de magnetização estão ausentes.^[9] A corrente que sai de um volume deve ser igual à taxa de diminuição da carga dentro do volume. Em forma diferencial, a equação da continuidade torna-se:

\nabla {\boldsymbol {\cdot J_{f}}}=-{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde o lado esquerdo é a divergência da densidade de corrente livre e o lado direito é a taxa de decréscimo da densidade de carga livre. No entanto, a lei de Ampère na sua forma original afirma que:

{\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}_{f}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

o que implica que a divergência da corrente se anula, contradizendo a equação de continuidade. (O anulamento da divergência é uma conseqüência da identidade matemática que afirma que a divergência do rotacional é sempre nula). Essa contradição é removida com a adição da corrente de deslocamento, já que:^[10]^[11]

{\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\right)\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

{\boldsymbol {\nabla \cdot }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \cdot D}}\right)\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

que está de acordo com a equação da continuidade por causa da lei de Gauss:

{\boldsymbol {\nabla \cdot D}}=\rho _{f}\ .

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Propagação de ondas[editar | editar código-fonte]

Representação esquemática de uma onda eletromagnética linearmente polarizada que se propaga ao longo do eixo horizontal para a direita.

A corrente de deslocamento também leva à propagação de ondas tomando-se o rotacional da equação do campo magnético. ^[12] Na situação particular em que não há polarização (P = 0), que ocorre no espaço livre, por exemplo, a corrente de deslocamento é:^[13]

{\boldsymbol {J_{D}}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Substituindo esta forma de J na lei de Ampère, e assumindo que não há densidade de corrente ligada ou livre contribuindo para J:

{\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J_{D}}}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

com o resultado:

{\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times E}}\ .

Porém,

{\boldsymbol {\nabla \times E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {B}}\ ,

o que leva à equação da onda:^[14]

-{\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\nabla ^{2}{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde é feito o uso da identidade vetorial que vale para qualquer campo vetorial V(r, t):

{\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times V}}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla \cdot V}}\right)-\nabla ^{2}{\boldsymbol {V}}\ ,

e o fato de que a divergência do campo magnético é nula. Uma equação de onda idêntica pode ser encontrada para o campo elétrico, tomando-se o rotacional:

{\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times E}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times }}{\boldsymbol {B}}=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {E}}\right)\ .

Se J, P e ρ são nulos (como no espaço livre), o resultado é:

\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}\ .

O campo elétrico pode ser expresso na forma geral:

{\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\ ,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde φ é o potencial elétrico (que pode ser escolhido de modo a satisfazer a equação de Poisson) e A é o potencial vetor.^[15] O termo ∇φ no lado direito vem da lei de Gauss, e este é o termo relevante para a conservação da carga, como argumentado acima. O segundo termo no lado direito é relevante para a equação da onda eletromagnética, porque é o termo que contribui para o rotacional de E. Por causa da identidade vetorial que diz que o rotacional do gradiente é zero, ∇φ não contribui para ∇×E.

domingo, 13 de outubro de 2019